From Sterwiki

Het oplossen van vergelijkingen is een term uit de wiskunde. Het geeft aan hoe de waarde van een onbekende, vaak aangeduid met x, kan worden bepaald uit één of meerdere vergelijkingen.

Een vergelijking krijg je als je 2 'dingen' met elkaar vergelijkt.
Je wilt dan weten wat de overeenkomst is tussen die twee.
Wiskundig wordt dit geschreven in formulevorm, met het teken = tussen de twee dingen die aan elkaar gelijk zijn.

Nulpunt

Er moet een vergelijking worden opgelost wanneer een nulpunt van een functie moet worden bepaald; een nulpunt van een functie is een snijpunt van de grafiek van die functie met de horizontale as. Wanneer van een functie $f:\; x\; o\; f(x)$ een\; nulpunt\; wordt\; gezocht,\; dan\; moet\; de\; volgende\; vergelijking\; worden\; opgelost:$ f(x)=0$ .$$$$

Algebraïsch getal

Een algebraïsch getal is een getal dat een oplossing is van een vergelijking van de vorm

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x¹ + a₀ = 0

waar n > 0 en elke a_i is een geheel getal, en a_n is ongelijk aan 0.

Hierbij heet n de graad van de vergelijking.

Voor vergelijkingen van de graad $leq\; 4$ zijn\; oplosmethoden\; bekend,\; zie\; bijvoorbeeld\; onder\; parabool\; voor\; het\; oplossen\; van\; een\; tweedegraads\; vergelijking.$$

Twee vergelijkingen met twee onbekenden

In de wiskunde gebruiken we vergelijkingen bijvoorbeeld om een snijpunt tussen 2 lijnen in een tweedimensionaal coördinatensysteem te berekenen. Iedere lijn wordt dan gerepresenteerd door een formule, met daarin twee onbekenden, x en y. Uitgaande van een formule kan de grafiek van de betreffende lijn worden getekend. Het oplossen van de twee vergelijkingen heeft als doel het bepalen van het snijpunt van de grafieken van de betreffende lijnen.
Rechte lijnen (en dus ook de grafieken daarvan) zijn oneindig lang; ze zullen elkaar altijd ergens snijden, met uitzondering van evenwijdige lijnen.

Als we het snijpunt willen weten dan kunnen we de grafiek gaan tekenen, maar dat kost erg veel tijd en veel papier als het snijpunt erg 'ver' ligt!
Om het snijpunt te vinden is het handiger om de twee formules naast elkaar te zetten en de overeenkomst van die twee formules te berekenen.

Voorbeeld (2 vergelijkingen)

Uitleg aan de hand van een voorbeeld:

We hebben de formules: $y\; =\; 3x\; -\; 6$ en$ y\; =\; x\; -\; 5$ .$$$$
We willen nu het snijpunt weten; op het snijpunt zijn de twee waarden van $Y$ aan\; elkaar\; gelijk,\; dus\; dan\; kunnen\; we\; het\; rechterlid\; van\; de\; twee\; formules\; aan\; elkaar\; gelijk\; stellen:$$

$3x\; -\; 6\; =\; x\; -\; 5$ $$

Nu kunnen we simpel het snijpunt te bereken door aan beide kanten van deze formule $x$ af\; te\; trekken$$

$3x\; -\; 6\; -\; x\; =\; x\; -\; 5\; -\; x$ $$

zo blijft het antwoord over:

$2x\; -\; 6\; =\; -5.$ $$

Tellen we aan beide kanten 6 op

$2x\; -\; 6\; +\; 6\; =\; -5\; +\; 6$ $$

Dan zien we dat

$2x\; =\; 1$ $$

Nu staat er $2x$ in:\; dat\; betekent\; 2\; maal$ x$ .\; Om$ x$ te\; vinden,\; moeten\; we\; beide\; kanten\; van\; de\; vergelijking\; door\; 2\; delen.$$$$$$

$2x\; /\; 2\; =\; 1\; /\; 2$ $$

Dan vinden we uiteindelijk

$x\; =\; 0,5$ $$

Het snijpunt heeft dus een $x$ -waarde\; van\; 0,5.$$

Door deze waarde in te vullen in één van beide oorspronkelijke formules bepalen we ook de waarde van $y$ .$$

Categorie:Wiskunde

de:Lösen von Gleichungen
en:equation solving